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『ルベーグ積分30講』 志賀浩二著(その10)

第9講 カラテオドリの外測度 今のところすべてが構想段階であり、ルベーグ積分の具体的な理解はまったく得られていない。暗中模索のようであるが、数学では当然のことながら理論的決着が具体性に優先するのだろう。具体的な計算は後のお楽しみとして、理論…

『ルベーグ積分30講』 志賀浩二著(その9)

第8講 カラテオドリの構想 昔この本を読んだときは、このあたりで挫折したのだが、それはカラテオドリがやろうとしたことの意味がよく分からなかったからである。ルベーグの定義を少し手直ししただけなのに、やたら難しい話になっていくので、面倒臭いと思…

『ルベーグ積分30講』 志賀浩二著(その8)

第7講 可測集合 -ルベーグの構想- 思うに概念というものは何かの目的をもっている。その目的が分かればたとえ概念の示す外延のすべてが分からなくても内包の意味がつかめる。そこを出発点として外延を調べていけばいい。「可測集合」という概念は何を目的…

『ルベーグ積分30講』 志賀浩二著(その7)

第6講 ルベーグ内測度 各辺がの正方四辺形からすべての有理数の点を取り除くと何かが残る。その残ったものをどうやって測るか。この場合、金魚すくいと逆のイメージ(金魚残し?)を考えてみる。どんなに小さな器(区間)を使って水(有理点以外のもの)だ…

『ルベーグ積分30講』 志賀浩二著(その6)

第5講 ルベーグ外測度 位相もよく知らないのにルベーグ積分などに挑むのは無謀であるが、私が関心があるのは、数学的に扱えそうにない対象を数学的に扱うことができるかどうかである。このため集合と数体系との対応関係を理論化している測度論に関心がある。…

『ルベーグ積分30講』 志賀浩二著(その5)

第4講 ふつうの面積概念 -ジョルダン測度- 測度概念は、「測る」ことの本質を捉えて、「次元ユークリッド空間における測度論を構成することを目指すものである。のときは長さ、のときは面積、のときは体積、ではのときはどうなるのか? それらに共通して…

『ルベーグ積分30講』 志賀浩二著(その4)

第3講続き。 繰り返されていく3等分標題から予想されるようにかなり複雑なので、イメージをつかむには本書の図を見ていただくしかない。ただ、最初のイメージは数式でも湧くだろう。数直線の単位区間を3等分して、その真中の開区間をとして抜き取るのであ…

『ルベーグ積分30講』 志賀浩二著(その3)

何事も先達はあらまほしきことなり・・・という声が聞こえそうだが、まあ、ここに書いている思い込みが間違っているか正しいか、どちらかであることは排中律により確かであることは間違いないので、いずれ自分にも分かるだろうということは数学の大きな魅力であ…

『ルベーグ積分30講』 志賀浩二著(その2)

第2講続き。実数の連続性前回の有限加法性では解析に役立たないことは、極限が無限だから当然である。そこでお約束の実数連続性だが、またか、という気になる。ただ、リーマン積分とは異なるのだから、連続性の定義についても違いがあるのだろう、そこに興味…

『ルベーグ積分30講』 志賀浩二著(その1)

長沼伸一郎の著書に影響されて、ルベーグ積分についてまずは入門書で勉強することにした。この本を要約しても丸写しになってしまうので、私なりに著者のねらいを推理してみることにした。それにしてもhatenaブログは使い勝手が良い。Latexも使えるので、書き…